Всего: 389 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
а второго 
их сумма равна единице. Тогда 
, откуда 
Две окружности пересекаются в точках А и В, и центр О первой из них лежит на второй. На второй окружности выбрана некоторая точка S, отрезок SО пересекает первую окружность в точке Р. Доказать, что Р является центром вписанной окружности треугольника АВS.
Таким образом, Р является точкой пересечения биссектрис углов АSВ и АВS и центром вписанной окружности треугольника АВS.В треугольнике АВС отрезки АК, ВL и СМ — высоты, Н — их точка пересечения, S — точка пересечения МК и ВL, Р — середина отрезка АН, Т — точка пересечения прямой LР и стороны АВ. Доказать, что прямая SТ перпендикулярна стороне ВС.
Отсюда 
и 
равны друг другу (так как оба равны удвоенной площади треугольника, умноженной на 
и, следовательно, сокращаются. Остается доказать, что
и 
а величина угла ВРС равна 
величина ОСВ, как угла при основании равнобедренного треугольника ОСВ с углом 
при вершине О, равна 
Считаем их разность: 
и 
соответственно, а величина угла ВРС равна 
Однако, если бы точка Р лежала на описанной окружности треугольника АВС, то четырёхугольник АВРС был бы вписанным и сумма его противоположных углов ВАС и ВРС равнялась бы 
откуда А = 180 градусов, что невозможно.В треугольнике АВС взята точка Р такая, что сумма углов РВА и РСА равна сумме углов РВС и РСВ. Докажите, что расстояние от вершины А до точки Р не меньше расстояния от А до точки I — центра вписанной в АВС окружности, и если эти расстояния равны, то Р совпадает с I.
Могут ли в некотором остроугольном треугольнике АВС точки пересечения биссектрисы угла А, высоты, проведённой из вершины В и медианы, проведённой из вершины С являться вершинами невырожденного равностороннего треугольника?
Откуда находим 
По теореме Пифагора 
тогда ADBC — параллелограмм (см. рис.). В треугольнике проведем медиану, тогда 
Таким образом, треугольник ADE — равнобедренный с углом 
то есть ADE — равносторонний. Следовательно, в треугольнике ABD медиана DE равна половине стороны AB, к которой она проведена, значит, треугольник ABD прямоугольный 
Тогда 
и 
следует подобие треугольников MNL и CAL . Поэтому AL : AN = CL : CM = AK : AB, и треугольник ABN подобен треугольнику AKL. Равенство BN = AB теперь следует из равенства KL = AK.
Найдите отношение AB : AC.
и 
Тогда
то есть 
